Material

English

This part - mathematics for beginners - is for the first year of elementary school. We learn

- Addition

- Subtraction

- Multiplication

- Division

the number space we move in ranges from 1-100.

For the beginners there are already first lessons available.

Gleichung

Eine Gleichung ist eine mathematische Aussage oder Behauptung der Form „linke Seite“ = „rechte Seite“.

Die beiden Seiten werden Terme genannt. Sie können keine, eine oder mehrere Variablen enthalten.

Eine Gleichung kann wahr oder falsch sein.

Multiplikation: Faktoren und Produkt

Als Faktor wird jedes der numerischen Elemente bezeichnet, die an einer Multiplikation beteiligt sind. In 3 x 24 = 72 sind also die Zahlen 3 und 24 Faktoren.

Das Produkt ist das Ergebnis einer Multiplikation zweier Faktoren x und y. Man kann das Produkt auch als x × y, als x · y oder kurz x y schreiben.

Addition: Summanden und Summe

Die Summe ergibt sich aus einer Addition zweier oder mehrerer reeller Zahlen. Sie wird als a + b geschrieben.

Die Zahlen a und b heißen einzeln Summanden, ihre Addition ergibt die Summe.

Subtraktion: Minuend, Subtrahend und Differenz

Die Differenz ist das Ergebnis einer Subtraktion.

Du erhältst sie, wenn du von der ersten Zahl (Minuend) die zweite Zahl (Subtrahend) abziehst.

Beispiel: 8 – 3 = 5. Dann ist 8 der Minuend, 3 der Subtrahend und 5 die Differenz.

Division: Dividend, Divisor und Quotient

Der Begriff Division kommt aus dem Lateinischen und bedeutet teilen.

In der Mathematik teilt man bei dieser Rechenoperation den Dividenden durch den Divisor und erhält den Quotienten.

Beispiel 8 : 2 = 4. Die Zahl 8 ist der Dividend, 2 der Divisor und 4 der Quotient. Der Quotient ist also das Ergebnis der Division.

Term

Ein Term ist - salopp formuliert - ein mathematischer Ausdruck, in dem Symbole (Buchstaben) vorkommen, an deren Stelle Zahlen (oder sonstige mathematische Objekte) eingesetzt werden können.

Diese Symbole heißen Variablen.

Erst nach Einsetzen konkreter Zahlen nimmt ein Term einen konkreten Zahlenwert an. Mit Termen lässt sich daher im Prinzip genauso rechnen wie mit Zahlen.

Bruch, Zähler und Nenner

Zähler und Nenner sind die Bestandteile eins Bruchs. Ein Bruch ist eine andere Schreibweise für eine Division.

Brüche begegnen uns im Alltag ständig. 45 Minuten zum Beispiel sind eine ¾ Stunde.

Die untere Zahl des Bruchs (im Beispiel ¾ die 4) heißt Nenner und gibt an, in wie viele gleich große Teile ein Ganzes geteilt wurde.

Je größer die Zahl ist, desto kleiner wurde geteilt.

Steht z. B. eine 4 im Nenner, wurde ein Ganzes in 4 gleich große Teile geteilt, bei einer 20 im Nenner wurde in 20 gleich große Teile geteilt.

Die obere Zahl ist der Zähler (im Beispiel ¾ die 3) und sie gibt an, wie viele Teile genommen werden.

Je größer die Zahl ist, desto mehr wurde genommen.

Steht z. B. eine 2 im Zähler, werden 2 Teile genommen, bei einer 15 im Zähler werden 15 Teile genommen.

Bei einem gewöhnlichen Bruch steht im Nenner immer eine größere Zahl als im Zähler.

Dreieck

Das Dreieck ist ein 3-seitiges Polygon.

Oder, anders ausgedrückt, ist es eine Fläche mit drei Seiten und drei Winkeln.

Manche Dreiecke weisen Besonderheiten auf:

• So ist ein gleichschenkliges Dreieck, ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten.
• Ein rechtwinkliges Dreieck besitzt einen Winkel von 90°. Die diesem Winkel gegenüberliegende Seite nennt man Hypotenuse.
• Ein gleichseitiges Dreieck ist ein Dreieck mit 3 gleich langen Seiten und drei gleich großen Winkeln

Viereck

Das Viereck ist einfach eine Fläche mit vier Seiten und vier Winkeln.

Quadrat

Ein Quadrat ist eine Fläche mit vier Seiten gleicher Länge und vier rechten Winkeln (90°).

Griechische Mathematiker führten noch eine andere Definition des Quadrats ein: Es gibt in der Mathematik auch das Quadrat einer Zahl.

Gemeint ist damit das Produkt einer Zahl x, wenn beide Faktoren x sind. Geschrieben wird dieses Quadrat auch als x².

Rechteck

Das Rechteck ist eine Fläche mit vier Seiten. Dabei sind die gegenüberliegenden Seiten jeweils parallel und gleich lang.

Ein Rechteck besitzt außerdem 4 gleiche Innenwinkel zu jeweils 90°. Es ist somit ein Sonderfall eines Parallelogramms.

Definitionsgemäß wird auch ein Quadrat als Rechteck betrachtet, da es ein Parallelogramm ist, und alle seine Winkel 90° sind. Ein Quadrat ist insofern ein Rechteck mit vier gleichen Seiten.

Raute

Eine Raute ist ein Parallelogramm mit 4 gleich langen Seiten.

Darüber hinaus schneiden sich die Diagonalen der Raute immer in der Mitte im rechten Winkel und bilden zwei Symmetrieachsen.

Kreis

Ein Kreis ist, mathematisch gesehen, eine Kurve mit einer besonderen Eigenschaft: Alle Punkte der Kurve - hier auch als Kreisaußenlinie bezeichnet - haben denselben Abstand zum Kreismittelpunkt.

Er ist eine spezielle geometrische Form.

Parallele

Zwei parallele Linien oder Parallelen sind definiert als zwei Linien, die an jedem beliebigen Punkt den gleichen Abstand voneinander haben.

Senkrechte

Zwei Linien gelten als senkrecht zueinander, wenn sie sich mit einem Winkel von 90° (= rechtwinklig) schneiden

Gerade, Strecke, Halbgerade

Eine Gerade ist eine durchgehende Linie, die aus einer unendlichen Anzahl von Punkten besteht. Sie hat weder Anfang noch Ende. Sie ist eines der wichtigsten Elemente in der analytischen Geometrie.

Eine Halbgerade (auch als Strahl bezeichnet) hat dagegen zwar einen Start-, aber keinen Endpunkt.

Und eine Strecke kannst Du abmessen, denn sie hat sowohl einen Start- als auch einen Endpunkt.

Segment / Kreissegment

Das Segment ist ein Teil einer geraden Linie, der durch zwei Punkte begrenzt ist. Diese beiden Punkte sind Anfang und Ende des Segments.

Der Teil der Linie jeweils rechts und links vom Segment besitzt nur einen Punkt.

Ein Segment [AB] ist folglich der Teil der geraden Linie, der zwischen den Punkten A und B liegt.

Die Schreibweise für ein Segment sind die Punkte A und B in eckigen Klammern, also so: [AB].

Ein Kreissegment ist der Teil der Fläche eines Kreises, der von einem Teil des Kreisbogens und den Geraden gebildet wird, die die Endpunkte des Kreisbogens mit dem Mittelpunkt des Kreises verbinden.

Diagonale

In einem Polygon, einem Vieleck, ist eine Diagonale eine Strecke, die zwei nicht aufeinanderfolgende Eckpunkte verbindet.

Ein Viereck – also ein Rechteck oder ein Quadrat – hat genau zwei Diagonalen.

Schnittpunkt

Der Schnittpunkt ist der Punkt, in dem sich Geraden, Halbgeraden oder Strecken in einem bestimmten Winkel treffen.

Allgemeiner ausgedrückt ein gemeinsamer Punkt zweier Kurven in der Ebene oder im Raum. Denn eine Gerade ist nichts anderes als eine besondere Kurve – verwirrend, oder?

Algebra

Die Algebra ist eines der wichtigsten Teilgebiete der Mathematik. Sie befasst sich mit den Eigenschaften von Rechenoperationen.

Wir kennen Algebra meist als das Rechnen mit Unbekannten in Gleichungen – zum Beispiel x+2 = 4. Die Unbekannten oder Variablen werden in der Algebra mit Buchstaben dargestellt.

Die Inhalte und Methoden der Algebra haben sich im Laufe der Zeit allerdings so stark erweitert, dass es schwierig geworden ist, den Begriff der Algebra in einer knappen Definition anzugeben.

In der Schule lernen wir neben der elementaren Algebra auch die lineare Algebra.

Die elementare Algebra umfasst die Rechenregeln der natürlichen, ganzen, gebrochenen und reellen Zahlen, den Umgang mit Ausdrücken, die Variablen enthalten, und Wege zur Lösung einfacher algebraischer Gleichungen (s.o.).

Die lineare Algebra beschäftigt sich mit dem Lösen linearer Gleichungssysteme, sie untersucht Vektorräume und bestimmt Eigenwerte.

Die lineare Algebra ist wiederum Grundlage für die analytische Geometrie.

Geometrie

Wie die Algebra ist die Geometrie ein wichtiges Teilgebiet der Mathematik.

In der elementaren Geometrie werden Beziehungen zwischen Punkten, Kurven, Geraden und Flächen untersucht und geometrische Figuren vermessen und berechnet.

Es gibt jedoch mehrere Teilgebiete der Geometrie, wie z.B. Geometrie im Raum, die analytische Geometrie, die Differential-Geometrie, die projektive Geometrie oder die algorithmische Geometrie, die sich in der Informatik wiederfindet.

Unbekannte / Variable

In einer Gleichung bezieht sich eine Unbekannte oder Variable auf den fehlenden (Zahlen-)Begriff: In der Regel ist es Ziel der Rechenoperation, diese Unbekannte herauszufinden.

Zum Beispiel ist x in der Addition 5 + x = 8 die Unbekannte. Löst man die Gleichung, so steht x für die Zahl 3.

Koordinaten

Um die Position eines Punktes in einer Ebene eindeutig zu beschreiben, sind zwei Zahlen nötig. Für die Lage im Raum drei Zahlen.

Diese Zahlen werden als Koordinaten bezeichnet. Das einfachste Koordinatensystem besteht aus den sogenannten kartesischen Koordinaten mit rechtwinklig angeordneter x-, y-, und z-Achse.

Abszisse / Ordinate

Als Abszisse bezeichnet man den X-Wert eines Punktes im kartesischen Koordinatensystem. Die Ordinate ist der Y-Wert.

Aufsteigende und absteigende Reihenfolge

Eine aufsteigende Ordnung ist eine Ordnung nach Größe, von der kleinsten bis zur größten Zahl.

Umgekehrt sortiert die absteigende Reihenfolge die Zahlen ihrer Größe nach von der größten bis zur kleinsten.

Winkel

Ein Winkel ist in der Geometrie ein Teil der Ebene, der von zwei in der Ebene liegenden Strahlen (Halbgeraden) mit gemeinsamem Anfangspunkt begrenzt wird. Der gemeinsame Anfangspunkt der beiden Strahlen wird Scheitelpunkt des Winkels, Winkelscheitel oder kurz Scheitel genannt; die Strahlen heißen Schenkel des Winkels. Ein Winkel kann durch drei Punkte festgelegt werden, von denen einer den Scheitel des Winkels bildet und die beiden anderen auf je einem Schenkel des Winkels liegen.

Es gibt viele verschiedene Winkel, wie z.B. den spitzen Winkel, der zwischen 0 und 90° beträgt, aber auch den stumpfen Winkel (zwischen 90 und 180°).

Besondere Winkel sind der rechte Winkel (90°), der Nullwinkel (0°), der flache Winkel (180°) und der volle Winkel (360°).

Vektor / Vektorraum

Ein Vektor ist ein Element eines Vektorraums.

Ein Vektorraum oder linearer Raum ist eine algebraische Struktur, die in vielen Teilgebieten der Mathematik verwendet wird. Vektorräume bilden in der linearen Algebra den zentralen Untersuchungsgegenstand.

Vektoren können addiert oder mit Skalaren (Zahlen) multipliziert werden, das Ergebnis ist wieder ein Vektor desselben Vektorraums.

Hypotenuse

Die Hypotenuse befindet sich in einem rechtwinkligen Dreieck. Es ist die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite.

Theorem

Ein Theorem ist eine nachweisbare Theorie, die sich aus anderen bereits gezeigten Sätzen ergibt.

Zu den bekanntesten Theoremen gehören die Theoreme von Pythagoras und Thales.

Equation

An equation is a mathematical statement or assertion of the form "left side" = "right side".

The two sides are called terms. They can contain none, one or more variables.

An equation can be true or false.

Multiplication: Factors and Product

A factor is any of the numeric elements involved in a multiplication. So in 3 x 24 = 72, the numbers 3 and 24 are factors.

The product is the result of multiplying two factors x and y. You can also write the product as x × y, as x - y, or x y for short.

Addition: Summands and Sum

The sum is the result of adding two or more real numbers. It is written as a + b.

The numbers a and b are individually called summands, and their addition gives the sum.

Subtraction: Minuend, Subtrahend and Difference

The difference is the result of a subtraction.

You get it when you subtract the second number (subtrahend) from the first number (minuend).

Example: 8 - 3 = 5, then 8 is the minuend, 3 is the subtrahend and 5 is the difference.

Division: Dividend, Divisor and Quotient

The term division comes from Latin and means to divide.

In mathematics, you divide the dividend by the divisor and get the quotient.

Example 8 : 2 = 4. The number 8 is the dividend, 2 the divisor and 4 the quotient. The quotient is therefore the result of the division.

Term

A term is - casually formulated - a mathematical expression, in which symbols (letters) occur, in whose place numbers (or other mathematical objects) can be inserted.

These symbols are called variables.

Only after inserting concrete numbers a term takes on a concrete numerical value. In principle, you can calculate with terms in the same way as with numbers.

Fraction, numerator and denominator

Numerator and denominator are the components of a fraction. A fraction is another way of writing a division.

We encounter fractions all the time in everyday life. For example, 45 minutes is ¾ hour.

The bottom number of the fraction (4 in the ¾ example) is called the denominator and indicates how many equal parts a whole was divided into.

The larger the number, the smaller the division.

For example, if there is a 4 in the denominator, a whole was divided into 4 equal parts; if there is a 20 in the denominator, it was divided into 20 equal parts.

The upper number is the numerator (in the example ¾ the 3) and it indicates how many parts are taken.

The larger the number, the more was taken.

For example, if there is a 2 in the numerator, 2 parts are taken; if there is a 15 in the numerator, 15 parts are taken.

In an ordinary fraction, there is always a larger number in the denominator than in the numerator.

Triangle

The triangle is a 3-sided polygon.

Or, in other words, it is a surface with three sides and three angles.

Some triangles have special features:

    For example, an isosceles triangle, is a triangle with two sides of equal length.
    A right triangle has an angle of 90°. The side opposite this angle is called the hypotenuse.
    An equilateral triangle is a triangle with 3 sides of equal length and three angles of equal size

Quadrilateral

The quadrilateral is simply a surface with four sides and four angles.

Square

A square is a surface with four sides of equal length and four right angles (90°).

Greek mathematicians introduced another definition of the square: In mathematics there is also the square of a number.

This means the product of a number x, if both factors are x. This square is also written as x2.

Rectangle

The rectangle is a surface with four sides. The opposite sides are parallel and of the same length.

A rectangle also has 4 equal interior angles of 90° each. It is therefore a special case of a parallelogram.

By definition, a square is also considered a rectangle, since it is a parallelogram and all its angles are 90°. In this respect, a square is a rectangle with four equal sides.

Rhombus

A rhombus is a parallelogram with 4 sides of equal length.

In addition, the diagonals of the rhombus always intersect at right angles in the center, forming two axes of symmetry.

Circle

A circle is, mathematically speaking, a curve with a special property: all points of the curve - here also called the outer line of the circle - have the same distance to the center of the circle.

It is a special geometric shape.

Parallel

Two parallel lines or parallels are defined as two lines that have the same distance from each other at any point.

Perpendicular

Two lines are considered perpendicular to each other if they intersect with an angle of 90° (= perpendicular).

Straight line, line, half line

A straight line is a continuous line consisting of an infinite number of points. It has neither beginning nor end. It is one of the most important elements in analytic geometry.

A half-line (also called a ray), on the other hand, has a starting point but no ending point.

And you can measure a line because it has both a start and an end point.

Segment / Circle segment

A segment is a part of a straight line that is bounded by two points. These two points are the start and end of the segment.

The part of the line to the right and to the left of the segment has only one point.

A segment [AB] is therefore the part of the straight line that lies between points A and B.

The notation for a segment is the points A and B in square brackets, so like this: [AB].

A segment of a circle is the part of the area of a circle formed by a part of the arc of the circle and the straight lines connecting the end points of the arc with the center of the circle.

Diagonal

In a polygon, a polygon, a diagonal is a line connecting two nonconsecutive vertices.

A quadrilateral - that is, a rectangle or a square - has exactly two diagonals.

Intersection

The point of intersection is the point where straight lines, half-straight lines, or lines meet at a certain angle.

More generally, a common point of two curves in the plane or in space. After all, a straight line is nothing more than a particular curve - confusing, isn't it?

Algebra

Algebra is one of the most important branches of mathematics. It deals with the properties of arithmetic operations.

We mostly know algebra as calculating with unknowns in equations - for example x+2 = 4. The unknowns or variables are represented with letters in algebra.

However, the content and methods of algebra have expanded so much over time that it has become difficult to state the concept of algebra in a concise definition.

In school, we learn elementary algebra as well as linear algebra.

Elementary algebra covers the arithmetic rules of natural, whole, fractional, and real numbers, how to deal with expressions containing variables, and ways to solve simple algebraic equations (see above).

Linear algebra deals with solving systems of linear equations, it examines vector spaces and determines eigenvalues.

Linear algebra is in turn the basis for analytic geometry.

Geometry

Like algebra, geometry is an important branch of mathematics.

In elementary geometry, relationships between points, curves, straight lines, and surfaces are studied, and geometric figures are measured and calculated.

However, there are several subfields of geometry, such as geometry in space, analytical geometry, differential geometry, projective geometry, or algorithmic geometry, which can be found in computer science.

Unknown / Variable

In an equation, an unknown or variable refers to the missing (number) term: usually, the goal of the arithmetic operation is to find out this unknown.

For example, x in the addition 5 + x = 8 is the unknown. If you solve the equation, x stands for the number 3.

Coordinates

To describe the position of a point in a plane unambiguously, two numbers are necessary. For the position in space three numbers.

These numbers are called coordinates. The simplest coordinate system consists of the so-called Cartesian coordinates with the x-, y-, and z-axis arranged at right angles.

Abscissa / Ordinate

The abscissa is the X-value of a point in the Cartesian coordinate system. The ordinate is the Y-value.

Ascending and descending order

An ascending order is an order by size, from the smallest to the largest number.

Conversely, descending order sorts numbers by size, from largest to smallest.

Angle

In geometry, an angle is a portion of the plane bounded by two rays (half-lines) lying in the plane with a common starting point. The common starting point of the two rays is called the vertex of the angle, angle vertex, or vertex for short; the rays are called legs of the angle. An angle can be defined by three points, one of which is the vertex of the angle and the other two are each on a leg of the angle.

There are many different angles, such as the acute angle, which is between 0 and 90°, and also the obtuse angle (between 90 and 180°).

Special angles are the right angle (90°), the zero angle (0°), the flat angle (180°) and the full angle (360°).

Vector / Vector space

A vector is an element of a vector space.

A vector space or linear space is an algebraic structure used in many subfields of mathematics. Vector spaces form the central object of study in linear algebra.

Vectors can be added or multiplied by scalars (numbers), the result is again a vector of the same vector space.

Hypotenuse

The hypotenuse is located in a right triangle. It is the side opposite to the right angle.

Theorem

A theorem is a provable theory that follows from other theorems already shown.

Among the most famous theorems are the theorems of Pythagoras and Thales.